FUNCIONES. MATEMÁTICAS EN EL MUNDO QUE NOS RODEA

En una cierta interpretación matemática del mundo que se remonta a Galileo y a Newton aparece un mensaje: la Naturaleza posee unas pautas y podemos encontrarlas...

La mente humana y la cultura han desarrollado un sistema formal de pensamiento para reconocer, clasificar y explotar un número amplio de pautas, las que corresponden a cosas que se pueden medir. Le llamamos matemáticas. Se pueden utilizar las matemáticas para organizar y sistematizar muchas ideas sobre las regularidades que hemos descubierto. 

Frecuentemente las regularidades corresponden a dos grandes tipos

• Cosas que cambian
• Cosas que se conservan
   

COSAS QUE CAMBIAN

En muchas ocasiones, para estudiar las cosas que cambian, los investigadores obtienen datos sobre dos magnitudes, elaboran una tabla con ellos y los representan gráficamente. Después tratan de obtener una fórmula (función) que relaciona los datos. La idea que subyace en este proceso es que, conocida una función, se puede predecir el valor de una magnitud para cualquier valor de otra relacionada con ella.

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Experimento. Masa frente a número de monedas

Se han medido las masas de tuercas y se ha obtenido la siguiente tabla:

(gráfica masa frente al número de tuercas)

Si se obtiene la gráfica de la masa frente al número de monedas se obtiene una línea recta.  Corresponde al hecho de que la razón entre la masa y el número de tuercas es una constante (la masa de una turca) y que la masa es proporcional al número de tuercas.

De manera abreviada puede escribirse m (masa) = a n (número de tuercas).

Conocida esta expresión puede predecirse la masa de un número de tuercas no incluido en la tabla (por ejemplo 12 tuercas tienen una masa m= a *12 =   ) o el número de tuercas correspondiente a una masa determinada, por ejemplo una tonelada 1000000/a = .... tuercas)

Cuando este  proceso se repite para otros fenómenos sencillos o más complejos,  y esto es lo sorprendente, se pueden relacionar los valores de dos magnitudes, con un número reducido de funciones matemáticas: la función lineal y la cuadrática, la proporcionalidad inversa, la inversa del cuadrado, la exponencial, la sinusoidal.

LOS EQUIPOS DE ADQUISICIÓN DE DATOS

El proceso de realizar un experimento tomando medida de magnitudes, obtener la tabla con los valores medidos, representarlos gráficamente y obtener la función que se aproxima más a esta gráfica puede automatizarse por medio de un ordenador y un sistema de adquisición de datos que utilizaremos en alguno de los experimentos que vamos mostrar. Un equipo de adquisición de datos por ordenador consta de los siguientes elementos:

• Sensores

Transforman los valores de magnitudes físicas en señales eléctricas que pueden introducirse en la interfase

• Interfase

Está conectada a uno de los puertos serie del ordenador (algunas se conectan a puertos USB). Modifica las señales eléctricas analógicas que recogen los sensores y las transforma en señales digitales que puede entender el ordenador. 

• Programa de ordenador

Transforma las señales digitales en información que aparece en la pantalla del ordenador. Tablas y gráficas. También permite ajustar funciones matemáticas a los datos obtenidos.

PROPORCIONALIDAD. FUNCIONES LINEALES

La afirmación: la magnitud Y es proporcional a la magnitud X quiere decir

1) Si hacemos doble X, entonces X se dobla.

2) Si hacemos triple X, entonces Y también se triplica.

3) Si hacemos X la mitad , Y también se hace la mitad.

Esto se escribe: Y= a X

La proporcionalidad entre dos magnitudes es una de las relaciones lineales más sencillas, como la que relacionaba la masa con el número de tuercas en el ejemplo anterior. El valor de una variable cambia en proporción directa al cambio en la otra. Esto corresponde a gráficas como

Otro tipo de relaciones muy frecuentes son lineales. La ecuación más general de una función lineal  es

Y = AX + B

Que corresponde a gráficas como las de la figura

Donde la pendiente A indica lo que la Y cambia con el cambio en X (la pendiente)  y el punto de corte B  mide el lugar en el que la recta corta al eje de ordenadas.

En ciencia muchos fenómenos se representan por una de tales funciones: la distancia recorrida frente al tiempo en un movimiento con velocidad constante, el alargamiento de un muelle con el peso que se cuelga de él, la relación entre el voltaje entre los extremos de una resistencia eléctrica y la intensidad que la atraviesa (ley de Ohm ...)

Experimento :  El movimiento del coche fantástico

Materiales

Equipo de adquisición de datos, sensor de movimiento, coche eléctrico programable

(explicar los componentes básicos del equipo: un sensor que mide distancias como hacen los murciélagos, una interfase en la que se introducen los datos procedentes del sensor y que dispone de un reloj, un programa de ordenador que permite obtener la tabla, la gráfica, ajustar una función ....)

Procedimiento y análisis

• Se programa la marcha del coche para que avance un cierto tiempo.
• Se selecciona el programa (Graph Matching Ex 01ª Distance Graph) en el equipo de adquisición de datos que recoge los datos de las distancias frente al tiempo.  
• Se pone en marcha el coche e inmediatamente se inicia la toma de medidas.
• Se selecciona la zona de la gráfica de movimiento que se quiere analizar y se ajusta una función lineal a los datos
• Se programa la marcha del coche para que avance un cierto tiempo y luego retroceda
• Se pone en marcha el coche e inmediatamente se inicia la toma de medidas.
• Se selecciona el trozo de gráfica que se quiera analizar y se ajusta una función lineal.

Se observa que las posiciones del coche son proporcionales a los tiempos (movimiento uniforme). En ciertos momentos el coche permanece parado.

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Pueden encontrarse parábolas en la vida cotidiana

• En las formas de puentes y edificios
• En las formas de las antenas de satélites que se utilizan en las comunicaciones
• En la trayectoria de una pelota de golf que se golpea para alcanzar largas distancias
• En la trayectoria de una jabalina
• 

También se obtiene una parábola cuando se representa  gráficamente la ecuación   y = x² .

La relación cuadrática más general entre dos variables corresponde a la ecuación
 

Y = a x² + b x +c  donde a, b y c son números

La representación gráfica de esta función es también una parábola

y las diferentes parábolas que se obtienen dependen de los valores , b y c

Experimento : La caída de una pelota

Materiales 

Equipo de adquisición de datos, sensor de movimiento, caja ligera

Procedimiento y análisis

- Se selecciona el programa (Exp 06 Ball Toss), se deja la ventana que recoge las distancias frente al tiempo.

- Se coloca a una cierta altura sobre el sensor de movimiento la caja ligera

 Se pone en marcha el equipo de adquisición de datos y se deja caer la caja procurando que lo haga frente a la ventana emisora y receptora del sensor de movimiento.

- Se selecciona la parte parabólica de la gráfica de este movimiento y se ajusta una función cuadrática.

Se observa que la relación entre la posición de la pelota  y el tiempo en la caída es una relación cuadrática. Esta corresponde a un movimiento uniformemente acelerado.

MODELOS MATEMÁTICOS Y REALIDAD

En los ejemplos anteriores se han tratado de ajustar funciones matemáticas a movimientos  y aunque ha habido un buen ajuste entre la “realidad” y el modelo matemático pero no se puede afirmar que este sea la realidad. Esta diferencia se ilustra en el siguiente experimento:

Experimento : El movimiento de una persona

Materiales

Equipo de adquisición de datos, sensor de movimiento

Procedimiento

• Alguno de los asistentes se mueve delante del sensor de movimiento que envía sus datos al ordenador a través de un sistema de adquisición de datos y tratar de hacerlo con:
• Un movimiento uniforme. Se analiza la gráfica de este movimiento, tratando de ajustar una línea recta
• Un movimiento uniformemente acelerado. Se analiza la gráfica de este movimiento, tratando de ajustar un polinomio de segundo grado.

En este experimento se ha intentado reproducir caminando los movimientos uniforme o uniformemente acelerado. Pero la cosa no es tan fácil ...

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Una magnitud Y es inversamente proporcional a otra x cuando y es proporcional a 1/x lo que se escribe

Y µ 1/x   o bien  y = a / x  donde a es un número que puede ser positivo o negativo.

La representación gráfica de la proporcionalidad inversa es una hipérbola cuya forma depende del valor de a

Experimento : Ley de Boyle

Materiales

Ordenador, sensor de presión, programa de ordenador, interfase, jeringuilla de 20 ml

Procedimiento

• Se inserta el sensor de presión en la interfase conectada al ordenador. Se monta la jeringa en el tubo directamente opuesta al sensor.
• Abre la válvula del sensor de presión alineándolo de manera que el aire entre y salga de la jeringa. Mueve el émbolo hasta que su parte baja se coloque en 10 ml.
• Cierra el lado de la válvula para atrapar el aire en la jeringa alineando la palanca azul con el lado.
• Abrir el programa, elegir experimento (6 con el sensor de presión) y empezar el experimento.
• Colocar el émbolo en la posición de 5 ml. Mantener la posición firmemente. Pulsar keep e introducir el volumen 5 ml y pulsar intro.
• Repetir el paso anterior para los volúmenes 6, 8, 10, 12, 15, 16, 18 y 20  ml y luego pulsar STOP.
• Analizar la gráfica obtenida y ajustar una función y = A / x (o y = Axⁿ cuando n = -1).

La función que mejor se ajusta es una proporcionalidad inversa y la curva obtenida se aproxima a una hipérbola.

INVERSA DEL CUADRADO

Cualquier fuente puntual que esparza su influencia de manera homogénea en todas las direcciones (se llama isotropía a esta propiedad)  sin limitar su alcance obedece a una ley de proporcionalidad de la  inversa del cuadrado de la distancia. Esto se debe a consideraciones geométricas. La intensidad de la influencia para cualquier radio r es igual a la intensidad de lo que emite la fuente dividido por el área de una esfera.

Aunque su origen es estrictamente geométrico, la ley de inversa se aplica a diferentes fenómenos. Fuentes puntuales de fuerza gravitatoria, de campo eléctrico, de sonido, luz o radiación obedecen a la inversa del cuadrado.

La gráfica de la figura muestra corresponde a una disminución de la intensidad de lo que emite la fuente con la distancia .

Experimento : Variación de la intensidad de la luz con la distancia

Materiales

Equipo de adquisición de datos, sensor de luz, linterna Maglite, láser, cinta métrica

Procedimiento

• Se quita la cabeza de la linterna Maglite de manera que quede descubierto la bombilla que hace de punto luminoso casi puntual. Se montan el sensor de luz y la fuente luminosa sobre tacos de madera de manera que el haz de luz incida sobre el centro del sensor de luz. Se conecta este a la interfase.
• Se carga el programa de ordenador que recoge la intensidad de la luz frente a la distancia. Se inicia la toma de medidas colocando el sensor de luz a 5 cm de la bombilla. Se introduce esta distancia (keep).
• Se repite el proceso alejando el sensor del foco luminoso de 2 en 2 hasta que la intensidad de luz se reduzca los suficiente para mantenerse constante.
• Se detiene la toma de medidas, se analiza la gráfica obtenida y se ajusta una función de inversa del cuadrado de la distancia

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Exponencial creciente

Existen muchos cambios en los que la variación de una magnitud en un intervalo de tiempo dado es proporcional a la cantidad de dicha magnitud al principio del intervalo. Un ejemplo de esto sería una colonia de bacterias cuyo número aumenta  en un diez por ciento cada hora. Si en un cierto instante existen 100 de ellas después de una hora habrá 110. Después de dos horas 110+0,1(110) = 121 y así sucesivamente. Después de doce horas existirán 315 y después de veinticuatro horas habrá 985.

La gráfica del tamaño de la colonia de bacterias en función del tiempo se muestra en la figura, corresponde a una exponencial creciente.

Una función exponencial creciente suela representar muy bien algo que va creciendo espectacularmente. Un cuento matemático en la corte de la India en el que un matemático inventó el juego de ajedrez tiene que ver con esto. El rey agradecido decidió recompensar al matemático con lo que quisiera. La petición fue aparentemente modesta, un grano de trigo por el primer cuadro del ajedrez, dos por el segundo, cuatro por el tercero y así sucesivamente

 La tabla ilustra esto

En el que el último término se obtiene utilizando la suma de los términos de una progresión geométrica. Ninguna cosecha es capaz de suministrar el trigo suficiente para satisfacer al matemático.

Exponencial decreciente

La gráfica  corresponde a una exponencial decreciente correspondiente a un experimento con dados. Sesenta dados se agitaron en una caja y se echaron sobre una mesa. Todos los dados que cayeron en cinco se quitaron de la caja y los restantes se echaron de nuevo en la caja que se agito de nuevo. Se echaron sobre la mesa y se separaron los que cayeron en cinco. Así sucesivamente .... La gráfica corresponde a 12 tiradas y es muy semejante a la que se encuentra para el número de núcleos frente al tiempo de una sustancia radiactiva..

Las funciones correspondientes a estas gráficas, creciente o decreciente, tienen la forma

Y= y₀a^kx

Donde y₀ es el valor inicial de y, a es cualquier número positivo diferente de 1, pero suele ser conveniente escoger a = 2,718 ... la base de los logaritmos naturales que se suele representar con la letra e y así

 Y= y₀e^kx

Donde k puede ser positiva (exponencial creciente) o negativa (exponencial decreciente).

Experimento : Curva de enfriamiento

Sensor de temperatura, secador de pelo, papel de aluminio, equipo de adquisición de datos

Procedimiento y análisis

• Se cubre el sensor de temperatura con papel albal y se elige el programa adecuado en el ordenador para registrar la temperatura frente al tiempo.
• Se pone en marcha el secador de pelo en posición de calentamiento y se espera un cierto tiempo. El secador se desconecta
• Se pone en marcha el equipo de adquisición de datos que va registrando la disminución de temperatura frente al tiempo.
•  

Se analiza la gráfica del experimento y se ajusta una exponencial decreciente al enfriamiento.

FUNCIÓNES PERIÓDICAS

Una función se dice períodica cuando se repite a intervalos regulares T (período)

 f(x) = f(x + nT) donde n=1,2,3 ...

por ejemplo las funciones y = sen x o y = cosx  son períodicas cuyas gráficas para valores de x entre –3PI y +3PI se muestran a continuación

Puede comprobarse que T en las dos gráficas es 2 P  y que presentan un defasaje de  P/2 cualquier función  compleja puede expresarse como suma de funciones sinusoidales sencillas de diferente período multiplicadas por diferentes números (amplitudes) . El proceso de descomposición se llama análisis de Fourier

Experimento : La forma de los sonidos

Materiales

Ordenador, equipo de adquisición de datos, micrófono con amplificador, diapasón con macillo y caja de resonancia

Procedimiento

• Se elige el programa adecuado, se golpea el diapasón y se analiza la gráfica sinusoidal que se produce y se comprueba que corresponde a una sola frecuencia (por análisis de Fourier).
• Se canta tratando de reproducir una determinada nota y se analiza la señal para ver sus frecuencias componentes.
• Se hace un ruido, golpeando con un diapasón la mesa, se analiza la señal y se obtienen sus frecuencias componentes.