Ecuaciones
ALGEBRA
Al Juarismi (siglo IX d. C.), considerado uno de los «padres del álgebra
El álgebra elemental difiere de la aritmética en el uso de abstracciones, como el uso de letras para representar números que son desconocidos o que pueden tomar muchos valores. Por ejemplo, en x + 2 = 5 la letra es una incógnita, pero aplicando el opuesto se puede revelar su valor: x = 3 En E = m c 2 , las letras E y m son variables, y la letra c es una constante, la velocidad de la luz en el vacío. El álgebra proporciona métodos para escribir fórmulas y resolver ecuaciones que son mucho más claros y fáciles que el antiguo método de escribir todo con palabras.
ECUACIONES
El arte de plantear ecuaciones
El idioma del álgebra es la ecuación. «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, de una lengua al idioma algebraico», escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno de ellos:
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda más que resolver la última ecuación. La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir “la lengua vernácula a la algebraica”. Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traduccionespueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede convencerse el lector a la vista de los ejemplos de ecuación de primer grado expuestos
La vida de Diofanto
Para saber cuántos años vivió Diofanto es preciso considerar el curioso epitafio en la tumba de este famoso matemático griego, donde podremos encontrar
diversas expresiones algebraicas ocultas en algunos enunciados
Lo único que se conoce del tiempo de vida de Diofanto de Alejandría es que nació alrededor del 200/214 D.C y falleció alrededor de 284/298 D.C. Pero gracias al epitafio mencionado tenemos una clave para descifrar la cantidad exacta de años que esta singular persona vivió.
Problema
La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:
Solución
Álgebra Recreativa www.librosmaravillosos.com Yakov Perelman
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84
El caballo y el mulo
Problema
He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir al idioma del álgebra. “Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas?
Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía”. ¿Decidme, doctos matemáticos, cuántos sacosllevaba el caballo, y cuántos el mulo?”.
Solución
Hemos planteado el problema mediante un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
y + 1 = 2 · (x - 1)
y - 1 = x + 1
ó
2x – y = 3
y – x = 2
Una vez resuelto el sistema vemos que x = 5, y = 7. El caballo llevaba 5 sacos, y el mulo, 7.
Experimento. Adivina un número
Se piensa en un número y luego después de realizar una serie de operaciones se averigua el número.
- Piensa un número
- Multiplícalo por 3
- Súmale 45
- Dobla el resultado
- Divide el resultado anterior por 6
- Súmale 7
- Di el número
Explicaciones
- Piensa un número x
-Multiplícalo por 3 3x
- Súmale 45. 3x + 45
- Dobla el resultado 2(3x+45) = 6x + 90
- Divide el resultado anterior por 6. (6x + 90)/6 =x + 15
- Súmale 7 x +22
Para acertar el resultado réstale 22
Experimento. Adivina dos números
- Piensa en dos números diferentes entre 1 y 9
- Dobla uno de los dos
- Suma 10 al número que has doblado
- Multiplicar el resultado obtenido en el paso 3 por 5
- Sumar el segundo número que habías pensado al resultado obtenido en el paso anterior
- Da el resultado final
Explicaciones
- Si llamamos x al primer número e y al segundo. Los pasos son:
-x e y
- 2x
- 2x +10
- 5(2x+10) =10x +50
-10x+50+y
La cifra de las unidades que nos den coincidirá con el segundo número pensado. Para obtener el primer número restaremos al resultado el segundo número además de 50 unidades 10x+50+y-50-y =10x. Obtendremos un número de dos cifras en el cual la cifra de las decenas coincidirá con el primer número pensado.
Experimento. Adivinar el día y el mes de nacimiento
- Multiplica por 5 el número del mes en que naciste
- Suma 7 al resultado anterior
- Multiplica el resultado del paso 2 por 4
- Suma 13 al último resultado
- Multiplica el resultado anterior por 5
- Súmale el número del día en el que naciste
- Di el resultado
Explicaciones
- Multiplica por 5 el número del mesen que naciste 5x
- Suma 7 al resultado anterior 5x +7
- Multiplica el resultado del paso 2 por 4 4(5x +7)=20x+28
- Suma 13 al último resultado 20x +41
- Multiplica el resultado anterior por 5 5(20x+41) = 100x+205
- Súmale el día en el que naciste 100x + 205 +y
Al restar 205el resultado encontrarás en la primera o primeras posiciones del mes de nacimiento y en la última el día.
Experimento. En qué número vives
1.Dobla el número del portal de tu cas
- Suma el número de días que hay en una semana
- Multiplica el resultado por 50
- Súmale tu edad
- Resta el número de días que hay en un año ordinario
- Di el resultado
Con el resultado se acertará el número de portal de la casa además de su edad
Explicaciones
- Dobla el número del portal de tu casa 2x
- Súmale el número de días que hay en una semana 2x +7
- Multiplica el resultado por 50 50(2x + 7) =100x +350
- Súmale tu edad 100x +350 +y
- Resta el número de días que hay en un año ordinario 100x + 350 +y -365 =100x +y -15
Sumando 15 se tendrá las cifras de las unidades y las decenas y el número de portal entre las primeras cifras
Experimento. Adivinar una ficha de dominó
Se escoge una ficha que no enseña y hace los siguientes cálculos con los dos números que aparecen
- Dobla uno de los números
- Suma 5 al resultado obtenido en el primer paso
- Multiplicar por 5 el resultado anterior
- Sumar el segundo número de la ficha al resultado anterior
- Restar 7 al último resultado obtenido
- Decir el resultado final
Con este resultado se aciertan los dos números de la ficha
Explicaciones
- Dobla uno de los números 2x
- Suma 5 al resultado obtenido en el primer paso 2x +5
- Multiplica por 5 el resultado anterior 5(2x+5)=10x +25
- Suma el segundo número de la ficha al resultado anterior 10x +25 + y
- Resta 7 al último resultado obtenido. 10x +y +18
Restando 18 al resultado obtendremos un número de dos cifras . La primera será uno de los dos números de la ficha y la segunda el segundo número.
Experimento . Adivinar una carta
Acertar el número y el palo de una carta cualquiera
Un voluntario escoge una carta de la baraja española sin que el que va a adivinarla la vea. La enseña al público sin que el adivinador la vea y lugo pide al voluntario que haga las siguientes operaciones
- Dobla el valor que tenga la carta
- Suma 3 al resultado obtenido en el paso anterior
- Multiplica el resultado por 5
- Si la carta es de espadas suma uno al resultado anterior. Suma 2 si es de copas . Añadir 3 si es de bastos y 4 si es de oros.
- Una vez hecha la suma se dice el resultado y el adivinador acertará la carta.
Explicaciones
- Doblar el número que tenga la carta 2x
- Sumar 3 al resultado del paso anterior 2x +3
- Multiplica el último resultado por 5 ..5 (2x +3) =10x +15
- Suma 1,2,3 o 4dependiendo del palo de la carta. 10x +15 +y
El adivinador resta 15 . En la cifra de las decenas o si el número es de tres cifras en la cifra de las centenas y las decenas aparecerá el número de la carta . La cifra de las unidades dará el palo.