LA MAGIA DE LOS NUMEROS

Los números son algo mágico como pensaban los pitagóricos...  aunque nacieron para contar, ordenar, medir, jugar, establecer pautas armoniosas, codificar,..., guardan en su interior muchos misterios.  

Se inicia la sesión presentando adivinaciones que hace el monitor, de números, sumas, cartas, fechas,..., que piensan los asistentes. Luego se pasa a obtener números, midiendo. A partir de juegos se consiguen números enormes, o números en los que intervienen el azar o el caos . La ciencia de los números se presenta aquí de manera rigurosa pero divertida.

Los monitores hacen propuestas desde un ordenador a los asistentes. Estos con lápiz, papel y calculadoras responden a lo que se va proponiendo.  

NÚMEROS Y CIFRAS

Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5,... sirven para contar, es decir para establecer la cantidad de elementos de una colección de cosas y también para ordenar los objetos dentro de una colección.

También se utilizan para establecer códigos para identificar algo. El DNI, el número de teléfono, la matrícula de un coche o el código de barras... que sirven para identificar a una persona, un teléfono, un coche o un producto.

El llegar a la idea de número supuso un largo proceso de abstracción. A cada colección de cosas le corresponde un número y si es posible emparejar los elementos de dos colecciones es que les corresponde el mismo número.

Nuestros ancestros sintieron la necesidad de contar y para ello probablemente utilizaron los diez dedos de las manos e inventaron la numeración decimal.

El cero (que significa nada) fue una gran invención. 503 significa que hay 5 centenas, ninguna decena y 3 unidades. Bajo el reinado de Hammurabi, los matemáticos reservaban un espacio en el lugar sin dígito. El cero apareció en su forma actual (un círculo vacío) entre los mayas y en la India, probablemente antes de Cristo. Aryabhata, matemático indio, lo empleaba en el siglo V. El matemático árabe Al-Khwarecemi lo difundió en el 825.

Nuestras cifras llamadas arábigas (que los árabes llaman hindúes) fueron introducidas en Europa Occidental a finales del siglo X por el Papa Silvestre II. Su uso se difundió por Italia y España y luego por todo Occidente entre los siglos XII y XIV.

Luego están las operaciones con los números: suma, resta, multiplicación y división

Experimentos. Cálculos divertidos

Se propone realizar un conjunto de operaciones con calculadora que producen resultados sorprendentes: 

 

Trucos matemáticos que te harán parecer un mago

Elige un número

Multiplícalo por 3.

Súmale 6.

Divide ese resultado por 3.

Réstale el número que elegiste en un prinicpio.

¿Cuál es el resultado?

Siempre va a ser 2

Piensa en un número de tres dígitos iguales.

Por ejemplo: 333

Suma los dígitos.

3+3+3 = 9

Divide el número original por el resultado de la suma del paso anterior.

333/9 = 37

Siempre nos va a dar 37.

Selecciona un número par entre el 1 y el 9.

Multiplícalo por 6.

Siempre nos dará como resultado un número que terminará con el mismo dígito que hemos seleccionado y el dígito de la decena será la mitad del mismo.

Por ejemplo: 2

2 x 6 = 12

Cumple con lo que hemos expuesto.

Elige cualquier número de varios digitos.

5679

Escríbelo al revés.

9765

Réstale este número al primero que seleccionaste.

9765-5679 = 4086 /9 = 454

El resultado es siempre divisible por 9.

Apunta tu talle de pie.

45

Multiplica este número por 5.

45 x 5 = 225

Súmale 50.

225+50=275

Multiplícalo por 20.

275 x 20 = 5500

Súmale 1019

5.500+1019 = 6519

Resta tu año de nacimiento

6519-1989 = 4530

Tengo 30 años y una 45 de pie.

 

Lanzamos 2 dados.

Por ejemplo, nos sale 3 y 6.

Nos quedamos con el 6.

Multiplicamos ese número por 2: 6 x 2 = 12.

Le sumamos 1: 12 +1 = 13

Multiplicamos el resultado por 5: 13 x 5 = 65

Súmale el otro número que hemos obtenido: 65+3 = 68

Si le restamos 5: 68-5 = 63.

Ya sabemos que ha salido el 6 y el 3.

Expresión algebraica paso a paso: x, 2x, 2x+1, 10x+5, 10x+5+ y, 10x+y

Tenemos que adivinar la edad de dos personas.

Por ejemplo: 26 y 50

Multiplica la edad de una de ellas por 2: 50 x 2 = 100

Súmale al resultado 5: 100+5 = 105

Multiplica el resultado por 50: 105 x 50 = 5250

Suma al resultado la edad de la otra persona: 5250 +26= 5276

Réstale al resultado 365: 5276-365 = 4911

Suma al resultado 115: 4911+115= 5026

Sabremos con el resultado que nos da la edad de las dos personas: 50 y 26 años.

Expresión algebraica paso a paso: x, 2x, 2x+5, 100x+250, 100x+250+y, 100x-115+y, 100x+y

Piensa un número cualquiera: 37

Súmale 3: 37+3 = 40

Multiplica el resultado por 2: 40 x 2 = 80

Réstalo 8: 80 – 8 = 72

Divide por 2: 72/ 2 = 36

¡Al número que te da le sumas 1 y lo tienes!

36 +1 = 37

Expresión algebraica paso a paso: X, X+3, 2X+6, 2X-2, X-1, X

Piensa un número cualquiera.

Por ejemplo: 13

Multiplica el número por 3: 13 x 3 = 39

Suma al resultado 12: 39 + 12 = 51

Réstale 9: 51 – 9 = 42

Divide por 3: 42/3 =14

Suma al resultado 7: 14 + 7 =21

El número que ha pensado será ese resultado menos 8: 21-8 = 13

Piensa un número cualquiera: 17

Súmale 4: 17+ 4 = 21

Réstale al resultado 1: 21 -1 = 20

Ahora suma 21 al resultado anterior: 20 +21 = 41

Réstale el número inicial: 41 -17 = 24

Divídelo entre 6: 24/6 =4

Multiplícalo por 3: 4 x 3 = 12

¡Siempre da 12!

Si tienes cualquier duda sobre estos trucos matemáticos, puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.

1. La respuesta es siempre… 2

Empecemos por un truco fácil.

• Elige un número

• Multiplícalo por 3

• Súmale 6

• Divide ese resultado por 3

• Réstale el número que elegiste en un principio

¿Cuál fue el resultado? 2

2. El número clave es 37

• Piensa en un número de tres dígitos iguales. Puede ser cualquiera del 1 al 9. Ejemplos: 222, 555, 999.

• Suma los dígitos.

• Divide el número original por el resultado de la suma del paso anterior.

¿Qué obtuviste? 37

3. Multiplicar por 6

A ver cómo te va con este.

• Selecciona un número par comprendido del 1 al 9

• Multiplícalo por 6

• El resultado terminará con el mismo dígito por el que multiplicaste y el número ubicado en la decena será la mitad del número de las unidades.

Por ejemplo: 6 x 8 = 48

4. Divisible por 9

• Elije un número de varios dígitos

• Escríbelo en reverso

• Resta este número con el primero

• El resultado es siempre divisible por 9

Por ejemplo: 36782 - 28763 = 8019 que es lo mismo que 9 x 891.

"La prueba de esto solo requiere lo aprendido en álgebra en la escuela secundaria, pero investigar si funciona o no podría hacerse tan pronto como los estudiantes aprenden a dividir", explica el profesor Wees.

5. Último truco

Este es un poco más complejo, pero adivinarás el resultado sin importar que números elija la otra persona.

• Selecciona un número de 5 dígitos, pero el primero debe ser un 2. Escríbelo y guárdalo en un bolsillo.

• Luego, escribe en un papel otro número de 4 dígitos, por ejemplo el 5735.

• Pídele a la persona que esté contigo que proponga otro número de 4 dígitos. Por ejemplo dirá 8307. Escríbelo debajo del número que propusiste en el paso anterior.

• Después tú eliges otro número de 4 dígitos: 1692

• Vuelves a pedirle a la persona que proponga otro número aleatorio de 4 dígitos, por ejemplo 8264

• Finalmente tú colocas otro número de 4 dígitos debajo: 1735

• Sumas los cinco números. Y el resultado es 25733. Revisa tu bolsillo. ¿Es el mismo número?¿Sorprendido?
• La explicación
• Recuerda que tienes que construir el número clave de 5 dígitos con el número 2 al principio. Ese es el que guardas en tu bolsillo, por ejemplo 25733.
• Cuando propones el primer número de cuatro dígitos tiene que tener cierta particularidad. Debe comenzar con los 3 números centrales, es decir 573 y el último dígito debe ser también el último de tu número clave más 2. Por lo que sería 3+2=5. El primer número que propondrás será 5735.
• El número que elije tu compañero/a es aleatorio.
• Pero el que tú selecciones inmediatamente después depende del número que él eligió. Y cada dígito deberá completar 9. Es decir, si optó por el 8307, tú debes escribir 1692 debajo porque 8+1=9; 3+6=9; 0+9=9; 7+2=9.
• La otra persona elige el siguiente número y tú repites el mismo procedimiento con el tuyo completando 9 en cada dígito. Es decir, si tu compañero escogió 8264, tú escribes 1735. (8+1=9; 2+7=9; 6+3=9; 4+5=9)
• Al final, sumas todas las cifras y el resultado será el número del papel en tu bolsillo.

Sea cual sea el número que elijas ¡Siempre dará 12!

 Pide a tu amigo que piense un número: por ejemplo, el 1.

• Dile que sume 4: 1 + 4 = 5
• Que reste 1: 5 – 1 = 4
• Después que sume 21: 4 + 21 = 25
• Que reste el número inicial: 25 – 1 =24
• Divididlo entre 6: 24/6 = 4
• Y multiplicadlo por 3: 4 x 3 = 12

Resultado sorprendente

• Escribe en un papel el número 12.345.679 (¡ojo! sin el 8)
• Pide a tu amigo que te diga un número del 1 al 9
• Multiplícalo por 9
• Pide a tu amigo que multiplique ese resultado por 12.345.679
• ¡Verás qué resultado!

¡Sorpresa!

• Escribe un número de 4 cifras: por ejemplo 1.234.
• Escribe, debajo de ese, otro número con las mismas cifras pero en diferente orden: 3.214.
• Resta el menor al mayor: 3.214 – 1.234 = 1.980
• Después, suma todos los dígitos del resultado hasta que sólo quede una cifra: 1+ 9 + 8 + 0 = 18; 1 + 8 = 9
• ¿Cuál es el resultado final si pruebas con otros números?

Adivina el número

Dile a tu amigo que piense un número y no te lo diga, a continuación dile que siga los siguientes cálculos mentales:

• Que multiplique el número x3.
• Que le sume 12
• Después, que le reste 9.
• Dile que lo divida entre 3
• Que le sume 7
• Pídele que te diga el resultado.

El número que él ha pensado será ese resultado menos 8. Mira el ejemplo: Si hubiera pensado en el número 3:

• 3 x 3 = 9
• 9 + 12 = 21
• 21 – 9 = 12
• 12/3 = 4
• 4 + 7 = 11
• 11 – 8 = ¡3!

A qué adivino cuánto dinero tienes en tu bolsillo y cuántos hermanos tienes

Dile a tu amigo que revise el dinero que tiene en el bolsillo y que calcule en secreto (mentalmente) lo siguiente:

• Que multiplique esa cifra x 10
• Que le sume 25
• Que le sume el número de hermanas
• Que lo multiplique x 10
• Después que sume el número de hermanos
• Que le reste 250.

En ese resultado, la cifra de las unidades es el número de hermanos, la de las decenas el número de hermanas, y el resto es la cantidad de dinero que lleva en el bolsillo. Mira el ejemplo: si tuviera 20€ en el bolsillo, 1 hermana y 0 hermanos.

• 20€ x 10 = 200
• 200 + 25 = 225
• 225 + 1 = 226
• 226 x 10 =2.260
• 260 + 0 = 2.260
• 260 – 250 = 2.0100

Tiene 20€ en el bolsillo, 1 hermana (decenas) y 0 hermanos (unidades).

Para sorprender a tus amigos con los trucos de matemáticas puedes ayudarte de unos números en papelitos para elegirlos al azar sin mirar, sobres mágicos, etc. ¡Sé creativo y personaliza tu magia!

un montón en la mesa. Al acabar se da cuenta de que no va a tener cartas para todos, entonces le pide al espectador que sume las cifras de su número y retira del montón de la mesa tantas cartas como la suma, colocándolas una a una sobre el mazo que tiene en la mano. La última carta que quedaba en elmontón de la mesa se la entrega, sin que se vea, al espectador y el montón que quedaba sobre la mesa lo vuelve a colocar sobre el mazo.
Repite la misma operación con los otros tres espectadores y alacabar, los voluntarios del público muestran sus cartas y resulta que tienen los cuatro ases de la baraja.
El truco se basa en cómo tenemos preparadas las cartas y en
lo que vimos antes de que si a un número le restamos la suma de sus cifras, el resultado es siempre un múltiplo de 9. Como hemos elegido números menores que 20, el resultado de la resta es siempre 9. Es decir, nosotros vamos a entregar siempre la novena carta desde el principio del mazo, independientemente  del número que haya elegido el espectador. Por lo tanto, sólo tenemos que preparar las cartas, antes de comenzar, de forma que los cuatro ases ocupen los lugares 9, 10, 11 y 12 desde el principio del mazo.
Los dos montones
Se entrega una baraja francesa de póquer o una baraja española con ochos y nueves (de forma que haya por lo menos 48cartas) a un espectador, se le pide que baraje a placer y que realice las siguientes acciones:
a) Divida el mazo en dos montones de aproximadamente la misma cantidad de cartas (no es necesario que sean
exactamente la misma cantidad).
b) Elija uno de los dos montones y cuente de forma secreta el número de cartas de ese montón.
c) A continuación sume las dos cifras del número de cartas y retire del montón elegido tantas cartas como
indique esa suma realizada, colocándolas sobre el otro
montón.
d) Después, tome la primera carta del montón que tiene en la mano y la mire para recordarla más tarde.
e) Coloque la carta que ha visto sobre el mazo de la mesa y encima de todo el montón que aún le queda en la
mano.
f ) Por último entregue el mazo al mago que enseguida descubre cuál era la carta que el espectador había
mirado.
El truco se vuelve a basar en la divisibilidad de 9. Como en cada montón hay alrededor de 25 cartas, si le quitamos tantas como la suma de las cifras, nos queda el anterior múltiplo de 9. Es decir, al acabar el paso c) siempre nos quedará en la mano un total de 18 cartas. Por lo que cuando le entreguen el
mazo basta que cuente hasta la carta 18 para hallar la carta buscada.
También se puede completar el truco escribiendo una frase que tenga 18 letras como por ejemplo “El gran Mago Santonji y pedirle al espectador o a otra persona que deletree la frase
mientras va apartando cartas del mazo. La última carta quita-
da será la buscada.
 

Capicúas

Es un número que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. La palabra capicúa se refiere a cabeza/cola, pues es un número cuya cabeza y cola son iguales.

También se les puede llamar palíndromos, aunque me parece que esa definición está más relacionada con palabras palíndromas que se leen igual al derecho y al revés, como: ANA, OSO y RECONOCER.

Capicúas básicos

Todos los números de una cifra son capicúas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Todos los números de dos cifras que son capicúas constan de un mismo dígito repetido y son divisibles por 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

Los siguientes capicúas de 3 dígitos son divisibles por 11 dos veces, es decir, son divisibles por 121: 121, 242, 363, 484.

Escribiendo números al azar y luego repitiéndolos “de reversa” lleva a formar cualquier número capicúa que se nos ocurra, sin usar ninguna operación matemática para formarlo:

123321

El capicúa de un número

Es una idea distinta a la que acabo de mencionar. El capicúa de un número dado (cualquiera) se obtiene sumando al número su reverso, hasta llegar a un número capicúa. Por ejemplo, para el 93:

93 + 39 = 132
132 + 231 = 363

Cuando en el proceso se llegó a un número formado por cifras menores a 5, como en este caso, es seguro que en el siguiente paso se llega al capicúa. Si no, puede que tome unos cuantos (o muchos) pasos más.

También los capicúas tienen sus capicúas. Si el primer capicúa está formado por cifras menores a 5, en un primer paso se obtiene su capicúa relacionado:

121 + 121 = 242

Si, en cambio, el primer capicúa contiene alguna cifra mayor a 5, tomará más pasos, incluso puede ser que no se encuentre después de muchísimos pasos:

363 + 363 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884

El capicúa de 363 es 4884

Buscar el capicúa de un número es útil para practicar sumas consecutivas sin un final conocido. Puede ser muy interesante buscar algunos patrones, como el hecho de que cuando todos los dígitos son menores a 5 se obtiene un segundo capicúa en un solo paso.

Veamos el patrón para diferente cantidad de cifras:

En un número de 2 cifras, cada 11 números habrá un capicúa:  

En un número de 3 cifras, cada 10 números habrá un capicúa: 101, 111, 121… (cuando hay cambio de centena, se necesita avanzar 11 números, como de 191 a 202)

En un número de 4 cifras, cada 110 números habrá un capicúa: 1001, 1111, 1221… (cuando hay cambio de unidad de millar, se necesita avanzar 11 números, como de 1991 a 2002)

En un número de 5 cifras, cada 100 números habrá un capicúa: 10001, 10101, 10201… (cuando hay cambio de decena de millar, se necesita avanzar 11 números, como de 19991 a 20002)

En un número de 6 cifras, cada 0110 números habrá un capicúa: 100001, 101101, 102201… (cuando hay cambio de centena de millar, se necesita avanzar 11 números, como de 199991 a 200002)

El patrón general es:

Si la cantidad de cifras (n) es non, la cantidad de números que separan un capicúa del siguiente se forma con un 1 más (n-1)/2 ceros.

Si fueran 9 cifras, cada 10000 (un 1 más (9-1)/2 ceros) números habrá un capicúa. Ese 1 está al centro de un número de 9 cifras.

Si la cantidad de cifras (n) es par, la cantidad de números que separan un capicúa del siguiente se forma con un 11 más n/2 -1 ceros.

Si fueran 10 cifras, cada 110000 (un 11 más 10/2 – 1 ceros) números habrá un capicúa. Ese 11 está al centro de un número de 10 cifras.

En todos los casos, al cambiar la primera cifra, la distancia entre los dos capicúas es sólo 11.

Ricemos más este rizo:

¿Cuántos capicúas hay de 2 dígitos? 9, porque son todos los que tienen las dos cifras iguales, del 11 al 99.

¿Cuántos capicúas hay de 3 dígitos? 90, imaginen que a cada uno de los 9 anteriores le pueden poner en medio una de las 10 cifras diferentes: 9 x 10 = 90 opciones.

¿Cuántos capicúas hay de 4 dígitos? La misma cantidad, 90, porque un capicúa de 3 cifras sólo puede convertirse en un capicúa de 4 cifras en el que las dos centrales sean iguales a la central del de 3 cifras: 101 -> 1001.

¿Y de 5 dígitos? 900, porque a cada capicúa de 4 cifras se le puede agregar una de las 10 cifras diferentes: 90 x 10 = 900.

Y así sucesivamente..

Otros capicúas obtenidos a partir de operaciones

El 1 y el 11 aparecen frecuentemente relacionados con los capicúas, como en las siguientes potencias:

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

11111² = 123454321

111111² = 12345654321

1111111² = 1234567654321

11111111² = 123456787654321

111111111² = 12345678987654321

Un capicúa muy peculiar

El 1001 es un capicúa que tiene solamente los siguientes divisores primos: 7, 11 y 13 (vaya, el 11 vuelve a aparecer en escena).

¿Para qué sirve saber algo así?

Bueno, pues para saber que cualquier número de 6 dígitos en el que los primeros tres sean idénticos a los siguientes tres podrá dividirse progresivamente entre 7, luego entre 11 y luego entre 13, quedando un número de 3 dígitos que… adivinaron, son los que estaban repetidos al inicio.

Veamos un ejemplo, con un número que, además, haremos que sea capicúa, aunque no es indispensable, 939939:

939 939 / 7 = 134 277

134 277 / 11 = 12 207

12 207 / 13 = 939

Esto nos permite dar a nuestros alumnos ejercicios interesantes de división y/o divisibilidad. La primera vez que ven que pasa eso, que se puede inventar fácilmente un número de 6 cifras que sea divisible por 7, por 11 y por 13 ¡al mismo tiempo! y entienden por qué, es… muy emocionante.

DIVISIBILIDAD

Pares e impares

La división por 2 proporciona la primera clasificación de los naturales. Los divisibles por 2 los pares y los que no lo son impares. Los pares pueden obtenerse a partir de la fórmula 2n, siendo n un número natural cualquiera; los impares se obtienen a partir de 2n + 1.

La suma de dos pares es par y también la de dos impares. El producto de dos pares es par, el de dos impares es impar. El cuadrado de un entero es par, el de un impar es impar.

Números primos

Se dice que un número es primo si sólo puede dividirse entre 1 y entre sí mismo. Los números que no son números primos se llaman números compuestos. Si un número es compuesto (divisible) los números que lo pueden dividir se llaman factores.

Cada número natural es el producto de números primos. Es lo que se denomina la descomposición en factores primos. Es única (cada número tiene fórmula, y sólo una, de descomposición que le es propia)

Hacia el año 300 aC ,  Euclídes un matemático griego, demostró que existe una cantidad infinita de números primos.  Existen cuatro números primos entre los primeros 10 números naturales: 2, 3, 5 y 7. A medida que los números naturales crecen los números primos se reducen y están más espaciados. Existen 25 números primos entre los primeros 100 números naturales, 21 del 101 al 200 y 16 del 201 al 300.

Pensemos en un número elevado como 191.587, ¡no tenemos una fórmula que determine si este número es primo!

Tendríamos que ir comprobando si tiene algún divisor y por lo tanto es compuesto. En ese caso, lo descartaríamos como número primo.

Para los primeros números primos (2, 3, 5, 7, 11), sería asequible comprobar si tienen divisores con ayuda los criterios de divisibilidad, pero para números más altos ya no sería tan fácil.

¡Imagínate tener que comprobar todos los divisores de un número tan alto! ¡Sería una locura!

Criba de Eratóstenes

El matemático griego Eratóstenes  ( siglo III a.C.) ideó una manera rápida de obtener todos los números primos hasta uno concreto. Se trata de un procedimiento denominado Criba de Eratóstenes, que veremos cómo funciona encontrando todos los números primos entre 1 y 100.

Teniendo todos los números en una tabla, se trata de ir buscando los que sean múltiplos de algún número y por tanto sean compuestos, para descartarlos como primos. Los números que nos queden sin descartar, serán declarados números primos.

La criba de Eratóstenes se para en el momento en que el cuadrado del número a investigar es mayor que el último número de la lista (en nuestro caso el 100).

Como 11²  = 121 y 121>100, cuando lleguemos al número 11, podremos parar de buscar.

Números primos entre 1 y 100 con la Criba de Eratóstenes

Empezamos colocando los números del 1 al 100 en una tabla como esta, donde resulta muy fácil observar los patrones que forman los múltiplos de cada número. Marcamos el 1, que no se considera un número primo.

Múltiplos de 2

Primero, buscamos los múltiplos de 2 y los marcamos (exceptuando el 2, que sabemos que sólo tiene como divisores 1 y 2, así que es primo). Todos estos números serán compuestos. ¿Has visto qué patrón tan bonito tienen los números pares?

Múltiplos de 3

Ahora, de los que quedan, buscamos los múltiplos de 3 y los marcamos (exceptuando el 3, que es primo). Una manera fácil es ir contando de 3 en 3. También aquí observamos un patrón interesante.

Múltiplos de 5

Ahora es el turno de buscar los múltiplos de 5 (de 4 no haría falta, porque todos los múltiplos de 4 también son múltiplos de 2, así que ya los hemos marcado anteriormente). Es fácil encontrarlos, ya que son todos los acabados en 0 o 5. Dejamos el 5 sin marcar, ya que es primo.

Múltiplos de 7

Vamos ahora con los múltiplos de 7 (los de 6 no hace falta buscarlos, ya que 6 = 2 x 3 y ya hemos buscado los de 2 y 3). Dejamos el 7 sin marcar, ya que es primo.

Como ya solo nos queda buscar los múltiplos de 8, 9 y 10 y éstos son compuestos y múltiplos de números que ya hemos buscado, llegamos al número 11, donde dijimos al principio que debíamos parar. Así que ¡ya hemos terminado!

Lista de números primos entre 1 y 100

Podemos determinar entonces que los números que nos han quedado sin marcar, son todos números primos. Así que ya tenemos la lista de números primos entre 1 y 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

¿Has visto qué fácil resulta buscar números primos con este método? Eso sí, solo para números pequeños, si no puede resultar muy tedioso. Pero imagina lo fácil que será para una computadora.

Por último, aquí tienes una imagen con los pasos del ejemplo que hemos visto, para que los tengas todos juntos.

Criba de Eratóstenes

Los números primos son muy conocidos desde la antigüedad pero a pesar de la fascinación que han ejercido no existe una ley que fije su formación. Debido a que los números primos se distribuyen entre los naturales de una manera impredecible, Eratóstenes de Cirene, en el siglo III a.C, genera una lista de números primos por eliminación de los compuestos. Es la llamada criba de Eratóstenes.

Se escribe la siguiente cuadrícula

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

 

1. Encierra en un círculo el primer número primo que es el 2. Después tacha todos los múltiplos del 2.
2. Encierra en un círculo el siguiente número primo, el 3. Tacha todos los múltiplos del 3
3. Encierra en un círculo el siguiente número primo, el 5. Tacha todos los múltiplos de 5.
4. El siguiente número primo es el 7. Enciérralo en un círculo y tacha todos sus múltiplos.

La criba termina atrapando 25 números.

Son primos gemelos aquellos primos que se suceden con una diferencia de 2. 3,5,7,11,13,17,19,29,31,...,209267,209269

El matemático alemán Cristian Goldbach (1690-1764) comprobó que hasta lo que pudo comprobar cada número par era suma de dos números primos cosa que todavía no se ha podido comprobar con carácter general.

Números perfectos

Un número es perfecto si la suma de sus divisores coincide con el número:

6 = 1 + 2 + 3            28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

A comienzos de la era cristiana se conocían cuatro números perfectos 6, 28, 496 y 8128 ... Lo curioso es que todos terminan en 6 o en 28 y son pares. No se ha demostrado si existen o no perfectos impares. Hubo que esperar al siglo XV para encontrar el siguiente número perfecto (el quinto)

335550336

Comprobar que los números citados son perfectos

Números amigos

Dos números son amigos si la suma de divisores de uno es igual a la suma de divisores del otro.

El par más pequeño que cumple esta propiedad es el formado por los números 220 y 284. Los divisores de 220 son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 y 110 su suma es 284 cuyos divisores son1,2,4,71 y 142 cuya suma da 220.

Un par encontrado por Fermat: 17296 y 18416. Descartes encontró otro par: 9363584 y 9437056

En 1867, un italiano de 16 años sorprendió al mundo matemático anunciando que 1184 y 1210 eran números amigos cosa que no se había descubierto hasta entonces. Hoy en día se conocen más de 1000 pares de números amigos.

Comprobar que los números citados son amigos

Números y operaciones

El niño genio

Nacido en Brunswick, Alemania en 1777, Karl Friederich Gauus mostró un talento matemático inmenso desde muy temprana edad. La leyenda muestra que era capaz de llevar la contabilidad a su padre desde la edad de 3 años. Según otra leyenda, cuando estaba en la escuela elemental, asombró a su profesor, observando un patrón que le evitó un cálculo tedioso.  

El profesor de Gauss planteó a sus alumnos el problema de sumar todos los números del 1 al 100. Gauss rápidamente hizo el cálculo  por vía indirecta. Escribió la suma primero en orden ascendente y después en orden descendente

1   +  2+  3+...+98+99+100

100+99+98+...+  3+  2+   1

si sumamos las dos sumas columna a columna se obtienen 100 copias del número 101 y así la suma es:

100 x 101 = 10100

esto representa dos veces la suma por lo que una vez sería la mitad: 5050.

La fórmula se puede generalizar 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2   

8 y 27 elevados al cubo

8³ = 512            5 + 1 + 2 = 8

27³ = 19683       1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27

El número 1729

En cierta ocasión, el matemático indio Ramanujan recibió la visita de un amigo que le comentó, he venido en un coche matrícula 1729, un número anodino...no es ni capicúa

Ramanujan afirmó: es el menor número que puede ponerse como suma del cubo de otros dos de distintas maneras

1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³

Comprobar esta afirmación matemática

Cuadrados mágicos

¿Cómo colocar números enteros en las casillas de un cuadrado de modo que las sumas horizontales, verticales y diagonales sean iguales a un número dado?

El cuadrado mágico más sencillo es el de orden 3

2	9	4
7	5	3
6	1	8

En él se utilizan las nueve primeras cifras. La suma de los elementos de cada fila, cada columna y de cada diagonal da 15.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Durero (1471-1520) representó un cuadrado de lado 4, conteniendo 16 números que debían verificar 10 igualdades: las cuatro sumas horizontales, las cuatro verticales y las dos diagonales valen 34. En las dos casillas centrales de la última línea. Durero se dio el gusto de escribir la fecha de la obra (1514).

Un cuadrado sigue siendo mágico si a todos sus elementos se les suma o resta un mismo número o bien si se multiplican todos sus elementos por el mismo número.

Comprobar, realizando las operaciones, que se cumplen las afirmaciones que se han realizado en este apartado.  

 

El número 60

Cuanto más divisible es un número, más partes tiene y más útil resulta. Esto ocurre con 60 (que se utiliza en la numeración sexagesimal: la hora se divide en 60 minutos y el minuto en 60 segundos). 60 es muy divisible, es divisible por 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 (12 divisores). Si lo comparamos con 100 que siendo mayor tiene menos divisores, nueve divisores: 1,2,4,5,10,20,25,50,100.

12 (la docena) admite cuatro divisores, mientras que 10 admite sólo dos.

Comprobar los divisores de 60, 100, 12 y 10.

 

UNO, DOS, TRES .... INFINITO

- Se atribuye la invención del ajedrez al brahmán hindú Sissan ben Daher, que presentó el juego al rey Shirham. Este quiso compensar al brahmán y le pidió que formulara un deseo. Sissan le respondió que le bastaría con un grano de trigo en la primera casilla, 2 granos en la segunda, 4 granos en la tercera y así sucesivamente, doblando la cantidad hasta llegar a la casilla 64 del tablero.

En la petición estaba implicada una progresión geométrica de razón 2, hasta 2⁶³.

La suma sería  S = (2⁶³⁺¹ –1)/(2-1) = 18446744073709551615 granos que correspondería a la cosecha de todo el mundo durante más de 5000 años ...

EXPERIMENTO. El juego del ajedrez

Con un tablero de ajedrez y un saco de granos de trigo se trata de reproducir la ejecución del premio.

La duración del universo

En el gran templo de Benarés, bajo la cúpula que señala el centro del mundo, hay una placa de latón en la que se han fijado tres agujas de diamante, cada una de las cuales tiene la altura de un codo (un codo es igual a 50 centímetros aproximadamente) y es gruesa como el cuerpo de una abeja. Ensartados en una de estas agujas, el día de la creación, Dios colocó sesenta y cuatro discos de oro puro; el disco más grande se apoya en la placa de latón y los otros disminuyen de diámetro a medida que se acercan a la parte superior. Esta es la torre de Brama. Día y noche, incesantemente, el sacerdote de turno transfiere los discos de una aguja de diamante a la otra, de acuerdo con las leyes de Brhama, fijas e inmutables, que requieren que el sacerdote mueva únicamente un disco cada vez, y que coloque estos discos en las agujas de tal modo que nunca esté un disco menor debajo de uno más grande. Cuando se hayan transferido así los sesenta y cuatro discos desde la aguja en la cual Dios los colocó  durante la creación a una de las otras agujas, la torre, el templo y los brahamanes se convertirán en polvo y el mundo desaparecerá.

Se construye este juego utilizando discos de cartón común y clavos  

Se busca la regla general de acuerdo con la cual se deben mover los discos y cuando la encuentres encontrarás que la transferencia de cada disco requiere el doble de movimientos de los que se realizó en el anterior. El primer disco requiere un movimiento pero el número de movimientos aumenta en progresión geométrica...  

Al inicio, el sacerdote coloca el disco más pequeño A, en una varilla libre: 1 movimiento.

Para mover el siguiente disco B, hay que efectuar dos movimientos:

B en la varilla libre ---> A sobre B

Con el próximo disco hay que hacer 4 movimientos

C en la varilla libre ----> B sobre C

A en la torre de Brahma -----> A sobre B  

La colocación del siguiente D, requiere 8 movimientos

D en la varilla libre ----> C sobre D

A sobre D ------> A en la varilla libre

B en la torre de Brahma ----> B sobre C

A sobre B ----> A sobre B

Y así sucesivamente. Como tenemos 64 discos, la suma de los términos de la progresión aritmética da 2⁶⁴ – 1, es decir 18446744073709551615.

Si el tiempo que se emplea en pasar de una aguja a la otra es de 1 segundo (sin equivocarse), puesto que un año contiene 31558000 segundos se emplearían 584542046090 años, 7 meses, 15 días, 8 horas, 54 minutos y 24 segundos en cumplir la tarea.

 

Torres de Hanoi

En 1883 el matemático francés Edouard Lucas inventó y comercializó un juguete llamado “Torre de Hanoi” que es una simplificación de la torre de Brama con 3 varillas y ocho discos

Te dan un conjunto de tres varillas y n  discos, con cada disco de un tamaño diferente. Llamemos a las varillas A, B y C, y numeremos los discos desde 1, el disco más pequeño, hasta n , el disco más grande. Al principio, todos los n  discos están en la varilla A, en orden de tamaño decreciente de la parte inferior a la parte superior, de modo que el disco n  está en la parte inferior y el disco 1 está en la parte superior. Aquí está cómo se ven las Torres de Hanoi para n=5 n = 5 n=5n, 5 discos:

Hay tres torres que están etiquetadas como A, B y C. La torre A tiene discos numerados como 5, 4, 3, 2 y 1, con el disco 5 en la parte inferior y el disco 1 en la parte superior. Las torres B y C no tienen discos.

El objetivo es pasar todos los n discos de la varilla A a la varilla B:

Hay tres torres que están etiquetadas como A, B y C. La torre B tiene discos numerados como 5, 4, 3, 2 y 1, con el disco 5 en la parte inferior y el disco 1 en la parte superior. Las torres A y C no tienen discos.

¿Suena fácil, verdad? No es tan sencillo, porque tienes que obedecer dos reglas:

1. Puedes mover solamente un disco a la vez.
2. Ningún disco puede estar encima de un disco más pequeño. Por ejemplo, si el disco 3 está en una varilla, entonces todos los discos debajo del disco 3 deben tener números mayores que 3.

Puedes pensar que este problema no es terriblemente importante. ¡Al contrario! Cuenta la leyenda que en algún lugar de Asia (Tíbet, Vietnam, India), los monjes están resolviendo este problema con un conjunto de 64 discos y, según la historia, los monjes creen que una vez que terminen de mover todos los 64 discos de la varilla A a la varilla B de acuerdo con las dos reglas, el mundo se acabará. ¿Si los monjes están en lo correcto, deberíamos entrar en pánico?

Primero, vamos a ver cómo resolver el problema de manera recursiva. Vamos a empezar con un caso realmente sencillo: un disco, es decir, n=1. El caso de n=1  será nuestro caso base. Siempre puedes mover el disco 1 de la varilla A a la varilla B, porque sabes que cualquier disco debajo debe ser mayor. Y no hay nada especial acerca de las varillas A y B. Puedes mover el disco 1 de la varilla B a varilla C si lo deseas, o de la varilla C a la varilla A, o de cualquier varilla a cualquier varilla. Resolver el problema de las Torres de Hanoi con un disco es trivial, y requiere mover el único un disco solamente una vez.

¿Qué pasa con dos discos? ¿Cómo resuelves el problema cuando n=2? Puedes hacerlo en tres pasos. Aquí está cómo se ve al principio:

Hay tres torres que están etiquetadas como A, B y C. La torre A tiene el disco 2 en la parte inferior y el disco 1 en la parte superior. Las torres B y C no tienen discos.

Primero, mueve el disco 1 de la varilla A a la varilla C:

Hay tres torres que están etiquetadas como A, B y C. La torre A tiene el disco 2. La torre B no tiene discos. La torre C tiene el disco 1.

Observa que usamos la varilla C como una varilla libre, un lugar en donde poner el disco 1 para que podamos llegar al disco 2. Ahora muévelo que a la varilla B:

Hay tres torres que están etiquetadas como A, B y C. La torre A no tiene discos. La torre B tiene el disco 2. La torre C tiene el disco 1.

Por último, mueve el disco 1 de la varilla C a la varilla B:

Hay tres torres que están etiquetadas como A, B y C. La torre A no tiene discos. La torre B tiene el disco 2 en la parte inferior y el disco 1 en la parte superior. La torre C no tiene discos.

Esta solución toma tres pasos, y una vez más no hay nada especial acerca de cómo mover los dos discos de la varilla A a la varilla B. Puedes moverlos de la varilla B a la varilla C al usar la varilla A como la varilla libre: mueve el disco 1 de la varilla B a la varilla A, luego mueve el disco 2 de la varilla B a la varilla C y termina por mover el disco 1 de la varilla A a la varilla C. ¿Estás de acuerdo que puedes mover los discos 1 y 2 de cualquier varilla a cualquier varilla en tres pasos? (Di que "sí").

 

EXPERIMENTO . La duración del universo

Con un juego de las Torres de Hanoi se reproduce el proceso seguido por los brahamanes.